Premessa

La congettura di Collatz è uno dei problemi più famosi nell'ambito della matematica. 

Essa suggerisce che se si prende qualsiasi numero intero positivo, ripetendo il procedimento: "divido per due se è pari o moltiplico per tre e aggiungo 1 quando è dispari", si arriverà sempre a uno. Anche se la congettura di Collatz è stata conosciuta per più di 70 anni, fino ad oggi non è ancora stata dimostrata (o smentita).

È stata formulata nel 1937 dal matematico tedesco Lothar Collatz. 

Egli notò che se si prende un numero intero positivo qualsiasi e si applica la regola descritta sopra si otterrà sempre come risultato finale il numero 1, indipendentemente dal numero intero iniziale. 

La congettura di Collatz, come molti dei problemi aperti che rimangono spesso irrisolti, è piuttosto semplice, ma la sua soluzione è risultata fin'ora tutt'altro che facile. Inoltre, la congettura di Collatz è di particolare interesse per i matematici poiché è connessa a diversi problemi di matematica più complessi, come la teoria dei numeri, la teoria dei grafi, le equazioni di ricorrenza, e la complessità computazionale.

Negli anni, molti matematici hanno cercato di dimostrare o confutare la congettura di Collatz. Molti dei loro sforzi sono stati incentrati sulla ricerca di una regola generale che descrive il comportamento della congettura. Finora, anche se nessuno è riuscito a trovare tale regola, diversi progressi sono stati fatti. Ad esempio, è stato dimostrato empiricamente, grazie a simulazioni sui calcolatori, che è verificata fino a numeri molto alti, dell'ordine dei miliardi.

Uno dei tentativi più interessanti per dimostrare la congettura di Collatz è stato quello di Eric Roosendaal, un matematico olandese che ha sviluppato una teoria basata su "cicli di moltiplicazione". Secondo questa teoria, la congettura di Collatz è vera se tutti i possibili cicli di moltiplicazione sono costituiti da un numero finito di numeri e se ogni ciclo ha un numero finito di elementi. Questa spiegazione è stata contestata da altri matematici, ma non è stata ancora ne dimostrata, ne smentita.

Altri tentativi di dimostrare la congettura di Collatz includono la ricerca di una "prova di indizio", che dimostri che la congettura può essere verificata per un numero finito di casi. Un altro tentativo è quello di cercare una "prova di esclusione", che dimostri che la congettura è falsa per un numero finito di casi.

Fatto sta che questa congettura è ancora uno dei problemi più intriganti nell'ambito della matematica. 

Finora, la congettura di Collatz è riuscita a resistere a tutti gli sforzi per dimostrarla o smentirla. È possibile che la soluzione alla congettura di Collatz rimanga uno dei più grandi misteri della matematica, tuttavia pubblico di seguito una possibile soluzione per codividere un mio punto di vista che, se validato, risolverebbe questo arcano.

Paul Erdös, un matematico ungherese, ha affermato che la matematica non è ancora pronta per affrontare problemi come quello della congettura di Collatz. 

Personalmente penso che la matematica classica formale non è l'unico strumento a disposizione per dimostrare teorie e congetture, a volte può essere sostituito, altre semplicemente integrato.

Approcciamo, quindi, questo lavoro in maniera insolita, individuando i possibili processi che si possono innescare in ogni step di avanzamento di questa successione.

Prendendo un numero naturale a caso, sappiamo che la probabilità di avere un numero pari è pari a 1/2 (una volta su due). 

Sappiamo inoltre che per la "legge dei grandi numeri" il numero di estrazioni che danno come risultato un numero pari si avvicina sempre più ad 1/2 con l'aumentare delle prove, quindi per un numero di tentativi che tende ad infinito, il risultato sarà uguale a 1/2.

Nella congettura di Collatz noto un elemento disarmonico che può trarre in inganno chiunque provi a risolverla: preso un x naturale a caso, mentre (sempre per la "legge dei grandi numeri") il risultato di x/2 può essere con probabilità identica sia pari che dispari, il risultato di 3X+1 (applicato sempre ad un numero dispari), darà necessariamente un numero pari. La conseguenza è che ogni volta che nella successione esce un numero dispari, questo va SEMPRE:

- moltiplicato per 3, sommato ad 1 e successivamente diviso per 2.

È un ciclo unico che si ripete ogni volta che il numero della successione è dispari, e per questo motivo, al fine di semplificare in maniera importante tale congettura, mi permetto di definirla in una forma diversa ma equivalente:

| x/2 se pari

F(x) = |

| (3x+1)/2 se dispari

Definita in questa maniera, otteniamo un importantissimo risultato: sia applicando la prima regola (caso "pari") che applicando la seconda regola (caso "dispari"), si hanno pari probabilità di ottenere come risultato un numero pari o un numero dispari. 

Sviluppiamo su quanto premesso

Sulla base della trasformazione equivalente applicata, abbiamo 2 casistiche che si verificano con pari probabilità: per la legge dei grandi numeri, aumentando il numero di prove della successione, si avrà sempre maggiore probabilità di avere esattamente lo stesso numero di casi in cui va applicata la prima formula (x/2) rispetto alla seconda ((3x+1)/2).

Se esaminiamo separatamente le due successioni, queste sono rispettivamente: una decrescente, una crescente.

La successione decrescente, decresce costantemente di un fattore di decrescita 2.

La successione crescente, cresce con un fattore = 2 solo quando x=1; con un fattore >2 quando x<1; con un fattore compreso strettamente tra 1,5 e 2 quando x>1 (quanto più x è grande, tanto più il fattore di crescita tende a 1,5).

Se nella successione le 2 formule dovessero effettivamente essere applicate lo stesso numero di volte, la successione tenderebbe al valore 1, così come da tesi.

Vediamo cosa accadrebbe se, per assurdo, si verificasse uno dei seguenti 2 casi: 

1. viene applicata più volte la prima formula

2. viene applicata più volte la seconda.

Applicando più volte la formula x/2, il risultato si avvicinerebbe più velocemente a 1 e quindi confermerebbe comunque la tesi. 

Analizziamo il secondo e  più delicato caso.

Sappiamo che il fattore di crescita della seconda formula è sempre compreso tra 1,5 e 2, con gli estremi non compresi. Tra l'altro questo fattore si avvicina al valore 3/2 (1,5) quando x cresce, molto velocemente: già per x=10 il fattore è 1,55, e per x=50 vale 1,51. 

Supponendo che in un ipotetico momento siano state effettuate N prove; qualora il numero di applicazioni della seconda formula sia sufficientemente maggiore di N/2, in quel periodo la x continuerebbe mediamente a crescere: un eccesso di applicazioni di questa seconda formula, avendo un fattore > 1, porterebbe alla crescita della successione. 

Una conseguenza della crescita di x è l'aumento del numero delle prove verso infinito. Abbiamo già detto che per la legge di Bernoulli (legge dei grandi numeri), all'aumentare delle prove aumenta la probabilità di avere un numero paritario di applicazioni delle 2 formule all'interno della successione. 

Anche se le prime N prove portassero la successione verso infinito, con N grande a piacere, dato che x/2 comporta una decrescita con velocità maggiore rispetto alla crescita della di (3x+1)/2, con le infinite prove che seguono alle prime N, la successione tornerebbe a tendere verso il valore 1 per poi oscillare tra 1 e 2 all'infinito. 

Questo succede perchè dato un numero K da cui far partire la successione, per K>=50 è dimostrata empiricamente; per K>50 abbiamo che la il fattore di crescita della successione è stimato a rialzo da 1,51/2=0,755 che, essendo (significativamente) minore di 1, decresce verso valori<50 per poi arrivare a 1 ripercorrendo quanto osservato nelle prove empiriche.

Si tenga conto che secondo la congettura iniziale, l'oscillazione dovrebbe esserci tra i valori 1 e 4, ed esattamente della sequenza 1, 4, 2 per poi ripetersi; ma avendola riformulata accorpando la formula 3x+1 con la successiva sicura x/2, nel nostro caso l'oscillazione ciclica è rappresentata dall'alternanza dei numeri 1 e 2 . È facile intuire che comunque le casistiche si sovrappongono.

Riassumendo, abbiamo visto che per la legge dei grandi numeri le due funzioni tendono ad essere applicate lo stesso numero di volte. Siccome x/2 decresce più velocemente di quanto cresce (3x+1)/2 per ogni x>1, tende a scendere fino ad assumere il valore 1. Quando vale esattamente 1 si verifica la condizione particolare per cui cresce del fattore 2. Appena assume il valore 2, torna ad 1 pero oscillare all'infinito tra questi 2 valori.

Una ulteriore ipotesi da scartare è relativa alla possibilità di entrare in un ciclo infinito, diverso da 1, 2, 4, che bloccherebbe la successione non permettendole più di decrescere fino a 1. 

Immaginiamo per assurdo che esista un K >4 tale che si inneschi un ciclo di M passaggi tali che, dopo l'applicazione delle formule, la successione torni nuovamente al valore K. 

Se ciò fosse vero, significherebbe che, partendo dal valore K, applicando N1 volte la formula x/2 e N2 volte la formula (3x+1)/2, si tornerebbe ad avere il valore K. Il ciclo è infinito e, sempre per la legge dei grandi numeri, N1 deve essere necessariamente uguale a N2. 

Affinché ciò accada, la formula x/2, essendo applicata lo stesso numero di volte della formula (3x+1)/2, e considerando che dovrebbe portare al numero K di partenza, dovrebbe decrescere alla stessa velocità della crescita data dalla formula (3x+1)/2. Sappiamo però che questo accade solo quando il valore K=1, infatti per valori K>1 il valore di (3k+1)/2 < 2K. 

Per tesi K sarebbe dovuto essere > 4, ma come risultato abbiamo avuto che non esiste un K<>1 per il quale si innesca il ciclo: la dimostrazione per assurdo ha quindi escluso qualunque altro ciclo diverso da 1,2 (1, 4, 2 riportando la congettura alla forma originale). 

Una interessante conseguenza di quest'ultima dimostrazione sta nel fatto che in questa successione lo stesso numero non può uscire mai 2 volte per k>4.